خطی بودن مکانیک کوانتومی

مكانیك كوانتومی در طول سالیان متمادی به بوته آزمون‌های سختی نهاده شده و پیش بینی‌های نظری آن برای سیستم‌های مختلف با نتایج اندازه‌گیری‌های بسیار دقیق مقایسه شده است. ولی، در حقیقت امر این آزمون‌ها را باید آزمون‌های دقت و صحت معادله هامیلتونی (كه سیستم فیزیكی را توصیف می‌كند) به حساب آورد، نه آزمون‌های خود مكانیك كوانتومی. در اوایل سال گذشته واینبرگ روشی برای تحقیق لزوم تصحیح‌های غیر خطی در مكانیك كوانتومی پیشنهاد كرد و آن را در مورد نتایج یك آزمایش ساعت اتمی با تله یونی (در انستیتو ملی استانداردها در بولدر، كلرادو ) بكار برد و حد بالایی برای این تصحیحات به دست آورد كه خیلی كوچك بود.
وجود جنبه‌های عیر خطی در مكانیك كوانتومی می‌تواند به پیامدهای عمیقی در فیزیك نظری بینجامد: مثلاً اصل برهم‌نهی (تركیب خطی) خدشه‌پذیر خواهد شد. پس لازم است كه صورت‌بندی (فرمالیسم) مكانیك كوانتومی به بوته امتحان گذاشته شود.
وجه غیر خطی‌ای كه فعلاً بررسی می‌شود شبیه موردی است كه در همه نوسانگرهای غیر خطی پیش می‌آید و در آن فركانس تشدید، تابع دامنه نوسان‌های ایجاد شده است. مثال نتعلرف چنین سیستمی، آونگ است: گالیله مشاهده كرد كه تا وقتی نوسانات كوچك است زمان تناوب ثابت است؛ اما وقتی دامنه زاویه‌ای بزرگ شود. زمان تناوب هم زیاد می‌شود. در یك سیستم ساده كوانتومی دو ترازی، اثر غیر خطی به این صورت پدیدار می‌شود كه فركانس تشدید با تغییر میزان برانگیختگی به تراز بالاتر، تغییر می‌كند. یك سیستم دو ترازی معادل ذره‌ای است با اسپین 2/1 كه در یك میدان مغناطیسی خارجی قرار گرفته باشد. در این صورت میزان برانگیختگی به زاویه انحراف، یعنی زاویه میان میدان مغناطیسی و اسپین ذره، بستگی دارد. θ=0 متناظر با حالت پایه و θ=π متناظر با برانگیختگی كامل به تراز بالایی است. بنابراین فركانس حركت تقدیمی، آن طور كه در مكانیك كوانتومی خطی پیش‌بینی می‌شود، ثابت نیست. بلكه تابعی از زاویه است.
این نوع غیر خطی بودن را نباید مثلاً با پدیده‌های نوری غیر خطی مواد در شدت نور زیاد، اشتباه كرد. مكانیك كوانتومی (خطی)، این سیستم‌ها و عكس العمل غیر خطی‌شان نسبت به نور را كه معلول خواص ماده است، به خوبی توضیح می‌دهد. مكانیك كوانتومی غیر خطی از فركانس‌های گذاری ناشی می‌شود كه تابعی از میزان برانگیختگی سیستم‌اند و مشابهت هایی با نظریه نئو كلاسیك نور دارد.
واینبرگ در مقاله بدیع خود نشان داده است كه یك فركانس محرك ضعیف نمی‌تواند كل سیستم را از حالت (خالص) اولیه به حالت دیگر ببرد زیرا سیستم در طول این فرایند در نتیجه غیر خطی بودن، نامیزان می‌شود. تنها در صورتی كه این نامیزانی كوچكتر از t/1 باشد (t زمانی است كه طول می‌كشد تا سیستم برانگیخته شود)، برانگیختگی كامل امكان‌پذیر خواهد بود. بنابراین باغ مشاهده گذار كامل، می‌توان حدی برای غیر خطی بودن موجود تعیین كرد.
برای این كه روش واینبرگ را بفهمیم، شكل متعارف معادله شرودینگر را در مكانیك كوانتومی در نظر می‌گیریم: ihdψ/dt=Hψ . غرض این است كه تابع موج ψ را، كه تابعی (احتمالاً پیچیده) از فضا و زمان است و در این معادله صدق می‌كند پیدا كنیم. هامیلتونی (H) به برهم‌كنش‌های سیستم بستگی دارد – مثلاً بین هسته اتم و الكترون، جاذبه كولنی عمل كند – و معادله بالا نسبت به ψ خطی است.
واینبرگ این معادله را طوری باز می‌نویسد كه در آن H تابعی از ψ و مزدوج مختلط آن *ψ است. اگر H نسبت به حاصل‌ضرب ψ در *ψ خطی باشد، دو روش معادل خواهند بود. اگر توان‌های بالاتر ψ و *ψ وارد شوند، معادله غیر خطی می‌شود. واینبرگ برای تحقیق پیامدهای معادله تعمیم یافته، همان شرط‌هایی را اعمال می‌كند كه در مورد مكانیك كوانتومی معمولی مقررند. مثلاً، هامیلتونی باید همگن باشد تا بتوان سیستم‌های مجزا از هم را به درستی تحلیل و بررسی كرد.
صورت‌بندی واینبرگ طوری طرح ریزی شده است كه اثر غیر خطی بودن به كلی ترین صورت ممكن وارد می‌شود. ولی چنانكه دیگران هم متذكر شده‌اند اگر فرض‌های دیگر مكانیك كوانتومی تغییر نكند این صورت‌بندی به نقض قانون دوم ترمودینامیك می‌انجامد كه بنابر آن آنتروپی همواره باید زیاد شود. پاسخ واینبرگ به این مسئله این است كه تعریف آنتروپی در مكانیك كوانتومی متعارف را نمی‌توان به صورت تعمیم یافته غیر خطی آن به كار برد و باید به فكر تعریف جدیدی بود.
بنابراین در حال حاضر ظاهراً دلیلی نظری وجود ندارد كه بر مبنای آن تصحیحات غیر خطی را منتفی بدانیم.
به طور كلی، جز یك تصحیح غیر خطی كوچك در هامیلتونی نباید چیز دیگری انتظار داشت؛ اثر تصحیح‌های بزرگ باید مدت‌ها پیش از این ظاهر می‌شد. ساده‌ترین تصحیح برای ذره‌ای با اسپین 2/1 در یك میدان مغناطیسی منجر به فركانس تقدیمی زیر می‌شود.
ω_p=ω_0-4(ϵ/h) cos^2 (θ/2)
كه در آن θ زاویه انحراف و ϵ شاخص شدت غیر خطی بودن است (ω_0 فركانس تقدیمی معمولی و h ثابت پلانك است).
سیستمی كه در آزمایشگاه برای بررسی این مسئله به كار رفته، توده‌ای است از یون‌های سرد و به دام افتاده بریلیم كه در معرض دو قطار همدوس و پیاپی تابش میكروموجی، به فاصله یك پریود بلند حركت تقدیمی آزاد از یك یكدیگر، قرار گرفته است (تكنیك رمزی). تله یونی پنینگ، كه با تركیبی از میدان‌های ایستای الكتریكی و مغناطیسی یون‌ها را در یك حجم كوچك محصور می‌كند. حدوداً حاوی 10000 یون +Ba9 است. این یون‌ها، از طریق برخورد با 100000 یون +Mg26 كه در همان تله قرار گرفته‌اند، در دمایی خفیف (حدود K25ر0 ) نگه داشته می‌شوند. سردكردن این یون‌ها به طریق لیزری صورت می‌گیرد؛ به این معنی كه یون‌ها با باریكه لیزری كه فركانسش اندكی كمتر از خط تشدید در nm280 است. برهم‌كنش می‌كنند. هر بار كه یكی از یون‌ها، فوتونی از این باریكه را جذب می‌كند، به اندازه تكانه فوتون كند می‌شود. سرانجام دمای یون‌ها به حدود كسری از یك كلوین می‌رسد. سپس یون‌های +Be به تبع یون‌های سرد +Mg به تدریج سرد می‌شوند. عمر یون‌ها در تله، عملاً بینهایت است، زیرا كل سیستم در خلأ خیلی خوبی (با فشار كمتر از 13-10 اتمسفر) قرار دارد.
گذار مورد بررسی تغییر جهت اسپین هسته در یون‌های +Be است كه در میدان T82ر0 B=، در تقریب اول، مستقل از میدان است و فركانسی در حدود MHz303 دارد. برای مطالعه آن باید دو تپ (پالس) همدوس را (كه معمولاً تپهای 2/π اند و θ را به اندازه 2/π رادیان تغییر می‌دهند9 كه با پریود 100 ثانیه از هم جدا شده‌اند بررسی كرد.
فقط در آزمایش تله یونی است كه می‌توان به چنین زمان‌های بزرگ برهم‌كنش و دماهای خفیف دست یافت و همین‌هاست كه اندازه‌گیری را تا این حد حساس می‌كند. بعد از آنكه یون‌ها در معرض تابش MHz303 قرار گرفتند، تعداد یون‌هایی كه دست‌خوش گذار شده‌اند از روی تعدادی كه هنوز در حالت اولیه‌اند معین می‌شود. برای تعیین مقدار اخیر از میزان فلوئورسانی استفاده می‌كنیم كه از تاباندن نور nm313 (طول موج تشدید nm313 +Be) بر یون‌ها ایجاد می‌شود.
كار مهم این آزمایش، تعیین تفاوتی است كه به ازای مقادیر مختلف θ در فركانس تقدیمی به وجود می‌آید. به این منظور اولین تپ همدوس در كاوه رمزی به نحوی اختیار شده است كه به 20ر1 = θ_B = θ رادیان منجر شود. نوسانگر كاوه، به كمك روش‌های متداول پس خوراند (فیدبك) حدود 40 دقیقه به فركانس تقدیمی متناظر با θ=θ_A قفل می‌شود و سپس به مدت 40 دقیقه به فركانس مربوط به θ=θ_B و الی آخر.
حد دقت آزمایش را فركانس مرجع موجود مشخص می‌كند و میزان جابجایی فركانس اندازه‌گیری شده μHz 3ر8 ± 8ر3 است كه تقریباً نزدیك به صفر است (خطا كمتر از یك سیكل كامل در روز است)، كه از آن برای ϵ مقداری برابر μHz 0ر4 ± 8ر1 به دست می‌آید. بنابراین حداكثر مقدار ممكن ϵ معادل eV20-10× 4ر2 انرژی یا كمتر از 1027/4 انرژی بستگی هر نوكلئون در هسته بریلیم است. این حد 105 مرتبه كمتر از مقدار قبلی است؛ ولی با دستگاه‌های فعلی می‌توان به اندازه یك مرتبه بزرگی پیشتر رفت. بنابراین می‌توان گفت كه فعلاً دلیلی وجود ندارد كه مكانیك كوانتومی را به میزان قابل ملاحظه‌ای غیر خطی بشماریم، اگر چه جستجوی چنین آثاری بی‌تردید ادامه خواهد یافت.